Ξεκίνησε την καριέρα του από τη Γλυφάδα και στη συνέχεια μεταγράφηκε (από το 1990) στον ΠΑΟ. Ο Παύλος Γιαννακόπουλος πήρε τη γενναία απόφαση να ανταλλάξει τον κορυφαίο πολίστα, Δημήτρη Σελετόπουλο, με τον Αλβέρτη και έτσι ουσιαστικά έκανε το ντεμπούτο του με τον ΠΑΟ το 1990-91. Με το «τριφύλλι» κέρδισε τα πρωταθλήματα Ελλάδος των περιόδων 1997-98, 1998-99, 1999-2000, 2000-01, 2002-03, 2003-04, 2004-05, 2005-06, 2006-07, 2007-08, 2008-09 και τα κύπελλα Ελλάδος του 1993, 1996, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009.
Σε διεθνές επίπεδο κέρδισε την Ευρωλίγκα το 1996, 2000, 2002, 2007 και 2009. Το 1996 κατέκτησε και το Διηπειρωτικό Κύπελλο, ενώ το 2007 και το 2009 πέτυχε το Τριπλ Κράουν.
Συμμετείχε 9 φορές στο Ελληνικό All Star Game, και αναδείχτηκε μια φορά MVP το 2001, ενώ νίκησε στο διαγωνισμό τρίποντων τρεις συνεχόμενες φορές το 1996, 1997 και 1998 (και έκτοτε σταμάτησε να συμμετέχει στο διαγωνισμό).
Την 1η Ιουλίου του 2009, μετά την κατάκτηση του πρωταθλήματος της περιόδου, από τον Παναθηναϊκό, κάνοντας έτσι το δεύτερο “Triple Crown” στην ιστορία του, ο Φραγκίσκος Αλβέρτης, ανακοίνωσε την αποχώρησή του από την ενεργό δράση, σε ηλικία 35 ετών. Στις 11 Οκτωβρίου του 2009 αποθεώθηκε από 20.000 φιλάθλους σε ειδική τελετή-φιλικό αγώνα με την ΤΣΣΚΑ Μόσχας, που διοργάνωσε ο Παναθηναϊκός για να τιμήσει τον μεγάλο αρχηγό της ομάδας, με αφορμή την αποχώρησή του από την ενεργό δράση. Η φανέλα του Αλβέρτη με το νούμερο #4, αποσύρθηκε από την ομάδα σε ένδειξη τιμής και κοσμεί τον ουρανό του Ολυμπιακού Κλειστού Γυμναστηρίου. Σε ψηφοφορία αθλητικής εφημερίδας τον Ιούλιο του 2009, οι αναγνώστες ανέδειξαν τον Φραγκίσκο Αλβέρτη, στην πρώτη θέση των 100 σημαντικότερων προσωπικοτήτων κατά τον πρώτο αιώνα ζωής του συλλόγου.
Τον Σεπτέμβριο του 2015 βραβεύτηκε σε ειδική τελετή που διοργάνωσε ο Παναθηναϊκός (Honouring our legacy) ως μέλος της καλύτερης πεντάδας στην ιστορία της ομάδας, μαζί με τους Δημήτρη Διαμαντίδη, Ντέγιαν Μποντιρόγκα, Αντώνη Φώτση και Στόγιαν Βράνκοβιτς.
Μετά την απόσυρσή του ως αθλητής, συνέχισε να υπηρετεί τον σύλλογο ως team manager, ενώ από το καλοκαίρι του 2015, είναι ο γενικός διευθυντής των τμημάτων υποδομής-ακαδημίας του Παναθηναϊκού.
Εθνική Ελλάδας
Υπήρξε βασικό στέλεχος της Εθνικής ομάδας για πολλά χρόνια με 155 διεθνείς συμμετοχές και 1605 πόντους (μ.ο:10.35). Πρωτοεμφανίστηκε το 1995 στην εθνική ομάδα. Από το 1999 μέχρι και το 2004 υπήρξε ο αρχηγός της εθνικής ομάδας.
Το 1991 κατέκτησε με την Εθνική Παίδων το αργυρό μετάλλιο στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Παίδων και το 1992 με την Εθνική Ελπίδων το αργυρό μετάλλιο στο Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Ελπίδων.
Αγωνίστηκε σε πέντε Eυρωπαϊκά πρωταθλήματα το 1995, 1997, 1999, 2001 και 2003.
Το 1996 πήρε μέρος στην Ολυμπιάδα στην Ατλάντα, το 1998 στο Παγκόσμιο Πρωτάθλημα, και το 2004 στην Ολυμπιάδα της Αθήνας, όπου αναδείχθηκε πέμπτος ολυμπιονίκης. Η ολυμπιάδα της Αθήνας ήταν και τελευταία διοργάνωση, στην οποία συμμετείχε ο Αλβέρτης με το εθνόσημο.
To 2005 και ενώ ο προπονητής της ομάδας Παναγιώτης Γιαννάκης, σκεφτόταν να τον συμπεριλάβει στην αποστολή,επέμεινε στην απόφασή του να αποσυρθεί από την Εθνική, ώστε η ομάδα να περάσει στην επόμενη γενιά ταλαντούχων αθλητών όπως οι Δημήτρης Διαμαντίδης, Θοδωρής Παπαλουκάς, Βασίλης Σπανούλης, Αντώνης Φώτσης, Νίκος Ζήσης, Σοφοκλής Σχορτσιανίτης κ.α.
Τίτλοι
Με τον Παναθηναϊκό έχει κατακτήσει ως παίκτης:
- 11 Πρωταθλήματα Ελλάδας (1998, 1999, 2000, 2001, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009)
- 8 Κύπελλα Ελλάδας (1993, 1996, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009)
- 5 Κύπελλα Πρωταθλητριών Ευρώπης (1996, 2000, 2002, 2007, 2009)
- 1 Διηπειρωτικό (1996)
Με τον Παναθηναϊκό έχει κατακτήσει ως team manager:
- 3 Πρωταθλήματα Ελλάδας (2010, 2011, 2013)
- 4 Κύπελλα Ελλάδας (2012, 2013, 2014, 2015)
- 1 Κύπελλο Πρωταθλητριών Ευρώπης (2011)
Με τον Παναθηναϊκό έχει κατακτήσει ως προπονητής:
- 1 Πρωτάθλημα Ελλάδας (2014)